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Calculo - Limite
Definição: Seja \(f\) uma função cujo domínio \(D\subset \mathbb{R}^2\) contém pontos arbitrariamente próximos de \((a,b)\). Dizemos que o limite de \(f(x,y)\) quando \((x, y)\) tende a \((a, b)\) é \(L\) e escrevemos
\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L\]
se para todo número \(\epsilon > 0\) existe um número correspondente \(\delta > 0\) tal que se \((x, y) \in D\) e \(0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y - b)^2} < \delta\) então \(|f(x, y) - L| < \epsilon\).
Exemplo: Verificar que \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} = 0\).
Seja \(\epsilon > 0\), queremos determinar um \(\delta > 0\) tal que se
\(0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta\) então \(|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}| < \epsilon\)
Considerando \(x^2 > 0\) e \(y^2 > 0\), como \(x^2+y^2 > 0\) e \(3x^2y>0 \; se \; y\geq 0 \; e \; 3x^2y < 0 \; se \; y < 0\) com \((x, y) \in D \subset \mathbb{R}^2\), temos que se
\(0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \; então \; \frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} < \epsilon\)
Como \(y^2 \geq 0\) logo \(x^2+ y^2 \geq x^2\) assim \(\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1\) e portanto
\[\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} \leq (3|y|) = 3\sqrt{y^2} < 3\sqrt{x^2+ y^2}\]
Como, se \(3\sqrt{x^2 + y^2} < \epsilon\) logo \(\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} < \epsilon\) assim se escolhermos \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\) e fizermos \(0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta\) tal que,
\(3\sqrt{x^2+y^2} < \epsilon\) de forma que \(\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} < \epsilon\) obtendo-se \(\sqrt{x^2 + y^2} < \frac{\epsilon}{3}\).
Assim se escolhermos \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\) e fizermos \(0 < \sqrt{x^2+ y^2} < \delta\) teremos,
\[|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}| < 3\sqrt{x^2+y^2} < 3 \delta = 3(\frac{\epsilon}{3}) = \epsilon\]. \(\square\)